Aria piramidei de la bază este un dreptunghi. Cum să găsiți suprafața laterală a unei piramide

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în procedurile judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

este o figură cu mai multe fațete, a cărei bază este un poligon, iar fețele rămase sunt reprezentate prin triunghiuri cu un vârf comun.

Dacă baza este un pătrat, atunci se numește piramida patruunghiular, dacă un triunghi – atunci triunghiular. Înălțimea piramidei este trasată de la vârful ei perpendicular pe bază. Folosit și pentru a calcula suprafața apotema– înălțimea feței laterale, coborâtă din vârful acesteia.
Formula pentru aria suprafeței laterale a unei piramide este suma suprafețelor fețelor sale laterale, care sunt egale între ele. Cu toate acestea, această metodă de calcul este folosită foarte rar. Practic, aria piramidei este calculată prin perimetrul bazei și apotema:

Să luăm în considerare un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide.

Să fie dată o piramidă cu baza ABCDE și vârful F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apotema a = 5 cm Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.
Să găsim perimetrul. Deoarece toate marginile bazei sunt egale, perimetrul pentagonului va fi egal cu:
Acum puteți găsi aria laterală a piramidei:

Aria unei piramide triunghiulare regulate

O piramidă triunghiulară regulată constă dintr-o bază în care se află un triunghi regulat și trei fețe laterale care sunt egale ca suprafață.
Formula pentru suprafața laterală a unei piramide triunghiulare obișnuite poate fi calculată în diferite moduri. Puteți aplica formula de calcul obișnuită folosind perimetrul și apotema sau puteți găsi aria unei fețe și o puteți înmulți cu trei. Deoarece fața unei piramide este un triunghi, aplicăm formula pentru aria unui triunghi. Va necesita o apotema și lungimea bazei. Să luăm în considerare un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide triunghiulare obișnuite.

Având în vedere o piramidă cu apotema a = 4 cm și fața de bază b = 2 cm Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.
Mai întâi, găsiți zona uneia dintre fețele laterale. In acest caz va fi:
Înlocuiți valorile în formula:
Deoarece într-o piramidă obișnuită toate laturile sunt aceleași, aria suprafeței laterale a piramidei va fi egală cu suma ariilor celor trei fețe. Respectiv:

Aria unei piramide trunchiate

Trunchiat O piramidă este un poliedru format dintr-o piramidă și secțiunea transversală a acesteia paralelă cu baza.
Formula pentru suprafața laterală a unei piramide trunchiate este foarte simplă. Aria este egală cu produsul dintre jumătate din suma perimetrelor bazelor și apotema:

este o figură a cărei bază este un poligon arbitrar, iar fețele laterale sunt reprezentate prin triunghiuri. Vârfurile lor se află în același punct și corespund vârfului piramidei.

Piramida poate fi variată - triunghiulară, patruunghiulară, hexagonală etc. Numele său poate fi determinat în funcție de numărul de colțuri adiacente bazei.
Piramida dreapta numită piramidă în care laturile bazei, unghiurile și marginile sunt egale. De asemenea, într-o astfel de piramidă, aria fețelor laterale va fi egală.
Formula pentru aria suprafeței laterale a unei piramide este suma ariilor tuturor fețelor sale:
Adică, pentru a calcula aria suprafeței laterale a unei piramide arbitrare, trebuie să găsiți aria fiecărui triunghi individual și să le adăugați. Dacă piramida este trunchiată, atunci fețele sale sunt reprezentate de trapeze. Există o altă formulă pentru o piramidă obișnuită. În ea, aria suprafeței laterale este calculată prin semiperimetrul bazei și lungimea apotemului:

Să luăm în considerare un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide.
Să fie dată o piramidă patruunghiulară regulată. Partea bazei b= 6 cm, apotema o= 8 cm Aflați aria suprafeței laterale.

La baza unei piramide patruunghiulare obișnuite se află un pătrat. Mai întâi, să-i găsim perimetrul:

Acum putem calcula aria suprafeței laterale a piramidei noastre:

Pentru a găsi aria totală a unui poliedru, va trebui să găsiți aria bazei acestuia. Formula pentru aria bazei unei piramide poate diferi în funcție de poligonul care se află la bază. Pentru a face acest lucru, utilizați formula pentru aria unui triunghi, aria unui paralelogram etc.

Luați în considerare un exemplu de calcul al ariei bazei unei piramide, dat de condițiile noastre. Deoarece piramida este regulată, există un pătrat la baza ei.
Suprafata patrata calculat prin formula: ,
unde a este latura pătratului. Pentru noi este de 6 cm Aceasta înseamnă că aria bazei piramidei este:

Acum tot ce rămâne este să găsiți aria totală a poliedrului. Formula pentru aria unei piramide constă din suma suprafeței bazei sale și a suprafeței laterale.

Piramidă este o figură cu mai multe fațete, a cărei bază este un poligon, iar fețele rămase sunt reprezentate prin triunghiuri cu un vârf comun.

Să luăm în considerare un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide.

Să fie dată o piramidă cu o bază ABCDE și un vârf F. AB=BC=CD=DE=EA=3 cm Apotema a = 5 cm.
Să găsim perimetrul. Deoarece toate marginile bazei sunt egale, perimetrul pentagonului va fi egal cu:
Acum puteți găsi aria laterală a piramidei:

Aria unei piramide triunghiulare regulate

Aria unei piramide trunchiate

Să luăm în considerare un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide trunchiate.

Dată o piramidă patruunghiulară regulată. Lungimile bazei sunt b = 5 cm, c = 3 cm Apotema a = 4 cm. Aflați aria suprafeței laterale a figurii.
Mai întâi, să găsim perimetrul bazelor. Pe o bază mai mare, va fi egal cu:
Într-o bază mai mică:
Să calculăm aria:

Când se pregătesc pentru examenul de stat unificat la matematică, studenții trebuie să-și sistematizeze cunoștințele de algebră și geometrie. Aș dori să combin toate informațiile cunoscute, de exemplu, despre cum să calculez aria unei piramide. Mai mult, începând de la marginile de bază și laterale până la întreaga suprafață. Dacă situația cu fețele laterale este clară, deoarece acestea sunt triunghiuri, atunci baza este întotdeauna diferită.

Cum să găsiți aria bazei piramidei?

Poate fi absolut orice cifră: de la un triunghi arbitrar la un n-gon. Și această bază, pe lângă diferența dintre numărul de unghiuri, poate fi o figură obișnuită sau una neregulată. În sarcinile Unified State Exam care îi interesează pe școlari, există doar sarcini cu cifre corecte la bază. Prin urmare, vom vorbi doar despre ele.

Triunghi regulat

Adică echilateral. Acela în care toate părțile sunt egale și sunt desemnate cu litera „a”. În acest caz, aria bazei piramidei este calculată prin formula:

S = (a 2 * √3) / 4.

Pătrat

Formula pentru calcularea ariei sale este cea mai simplă, aici „a” este din nou partea:

N-gon regulat arbitrar

Latura unui poligon are aceeași notație. Pentru numărul de unghiuri se folosește litera latină n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Ce să faci când calculezi suprafața laterală și totală?

Deoarece baza este o figură obișnuită, toate fețele piramidei sunt egale. Mai mult, fiecare dintre ele este un triunghi isoscel, deoarece marginile laterale sunt egale. Apoi, pentru a calcula aria laterală a piramidei, veți avea nevoie de o formulă constând din suma monomiilor identice. Numărul de termeni este determinat de numărul de laturi ale bazei.

Aria unui triunghi isoscel se calculează prin formula în care jumătate din produsul bazei este înmulțit cu înălțimea. Această înălțime în piramidă se numește apotema. Denumirea sa este „A”. Formula generală pentru suprafața laterală este:

S = ½ P*A, unde P este perimetrul bazei piramidei.

Există situații în care laturile bazei nu sunt cunoscute, dar sunt date marginile laterale (c) și unghiul plat la vârful acesteia (α). Apoi, trebuie să utilizați următoarea formulă pentru a calcula aria laterală a piramidei:

S = n/2 * în 2 sin α .

Sarcina nr. 1

Stare. Găsi suprafata totala piramidă, dacă baza ei are latura de 4 cm, iar apotema are o valoare de √3 cm.

Soluţie. Trebuie să începeți prin a calcula perimetrul bazei. Deoarece acesta este un triunghi regulat, atunci P = 3*4 = 12 cm Deoarece apotema este cunoscută, putem calcula imediat aria întregii suprafețe laterale: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.

Pentru triunghiul de la bază, obțineți următoarea valoare a ariei: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

Pentru a determina întreaga zonă, va trebui să adăugați cele două valori rezultate: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Răspuns. 10√3 cm 2.

Problema nr. 2

Stare. Există o piramidă patruunghiulară obișnuită. Lungimea laturii de bază este de 7 mm, marginea laterală este de 16 mm. Este necesar să-i aflați suprafața.

Soluţie. Deoarece poliedrul este patruunghiular și regulat, baza lui este un pătrat. Odată ce cunoașteți aria fețelor de bază și laterale, veți putea calcula aria piramidei. Formula pătratului este dată mai sus. Și pentru fețele laterale, toate laturile triunghiului sunt cunoscute. Prin urmare, puteți folosi formula lui Heron pentru a calcula suprafețele lor.

Primele calcule sunt simple și conduc la următorul număr: 49 mm 2. Pentru a doua valoare, va trebui să calculați semiperimetrul: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Acum puteți calcula aria unui triunghi isoscel: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Există doar patru astfel de triunghiuri, așa că atunci când calculați numărul final, va trebui să-l înmulțiți cu 4.

Rezultă: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.

Răspuns. Valoarea dorită este 267,576 mm 2.

Problema nr. 3

Stare. Pentru o piramidă patruunghiulară obișnuită, trebuie să calculați aria. Latura pătratului este cunoscută a fi de 6 cm, iar înălțimea este de 4 cm.

Soluţie. Cel mai simplu mod este de a folosi formula cu produsul perimetrului și apotemului. Prima valoare este ușor de găsit. Al doilea este un pic mai complicat.

Va trebui să ne amintim teorema lui Pitagora și să considerăm Este format din înălțimea piramidei și apotema, care este ipotenuza. Al doilea picior este egal cu jumătate din latura pătratului, deoarece înălțimea poliedrului cade în mijlocul său.

Apotema necesară (ipotenuza unui triunghi dreptunghic) este egală cu √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Acum puteți calcula valoarea necesară: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Răspuns. 96 cm 2.

Problema nr. 4

Stare. Latura corectă este dată. Laturile bazei sale sunt de 22 mm, marginile laterale sunt de 61 mm. Care este suprafața laterală a acestui poliedru?

Soluţie. Raționamentul din acesta este același cu cel descris în sarcina nr. 2. Numai acolo a fost dată o piramidă cu un pătrat la bază, iar acum este un hexagon.

În primul rând, aria de bază este calculată folosind formula de mai sus: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.

Acum trebuie să aflați semiperimetrul unui triunghi isoscel, care este fața laterală. (22+61*2):2 = 72 cm Tot ce rămâne este să folosiți formula lui Heron pentru a calcula aria fiecărui astfel de triunghi, apoi să o înmulțiți cu șase și să o adăugați la cea obținută pentru bază.

Calcule folosind formula lui Heron: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Calcule care vor da aria suprafeței laterale: 660 * 6 = 3960 cm 2. Rămâne să le adunăm pentru a afla întreaga suprafață: 5217,47≈5217 cm 2.

Răspuns. Baza este de 726√3 cm2, suprafața laterală este de 3960 cm2, întreaga suprafață este de 5217 cm2.