Piramidă. Piramida trunchiată

Piramidă este un poliedru, una dintre fețele căruia este un poligon ( baza ), iar toate celelalte fețe sunt triunghiuri cu un vârf comun ( fetele laterale ) (Fig. 15). Piramida se numește corect , dacă baza sa este un poligon regulat și vârful piramidei este proiectat în centrul bazei (Fig. 16). Se numește o piramidă triunghiulară cu toate marginile egale tetraedru .

Coastă laterală a unei piramide este latura feței laterale care nu aparține bazei Înălţime piramida este distanța de la vârful ei până la planul bazei. Toate marginile laterale ale unei piramide obișnuite sunt egale între ele, toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite trasă din vârf se numește apotema . Secțiune diagonală se numește secțiune a unei piramide printr-un plan care trece prin două margini laterale care nu aparțin aceleiași fețe.

Suprafata laterala piramida este suma ariilor tuturor fețelor laterale. Suprafata totala se numește suma ariilor tuturor fețelor laterale și ale bazei.

Teoreme

1. Dacă într-o piramidă toate marginile laterale sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului circumscris bazei.

2. Dacă toate marginile laterale ale unei piramide au lungimi egale, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul unui cerc circumscris lângă bază.

3. Dacă toate fețele dintr-o piramidă sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul unui cerc înscris în bază.

Pentru a calcula volumul unei piramide arbitrare, formula corectă este:

Unde V- volum;

S baza– suprafata de baza;

H– înălțimea piramidei.

Pentru o piramidă obișnuită, următoarele formule sunt corecte:

Unde p– perimetrul de bază;

h a– apotema;

H- inaltimea;

S plin

partea S

S baza– suprafata de baza;

V– volumul unei piramide regulate.

Piramida trunchiată numită porțiunea piramidei cuprinsă între bază și un plan de tăiere paralel cu baza piramidei (Fig. 17). Piramida trunchiată obișnuită numită partea unei piramide regulate închisă între bază și un plan de tăiere paralel cu baza piramidei.

Terenuri trunchi de piramidă - poligoane asemănătoare. Fețe laterale – trapeze. Înălţime a unei trunchi de piramidă este distanța dintre bazele sale. Diagonală o piramidă trunchiată este un segment care leagă vârfurile sale care nu se află pe aceeași față. Secțiune diagonală este o secțiune a unei trunchi de piramidă printr-un plan care trece prin două margini laterale care nu aparțin aceleiași fețe.

Pentru o piramidă trunchiată sunt valabile următoarele formule:

(4)

Unde S 1 , S 2 – zone ale bazelor superioare și inferioare;

S plin– suprafata totala;

partea S– suprafata laterala;

H- inaltimea;

V– volumul unei piramide trunchiate.

Pentru o piramidă trunchiată obișnuită formula este corectă:

Unde p 1 , p 2 – perimetrele bazelor;

h a– apotema unei piramide trunchiate obișnuite.

Exemplul 1.Într-o piramidă triunghiulară regulată, unghiul diedric de la bază este de 60º. Aflați tangenta unghiului de înclinare a marginii laterale la planul bazei.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 18).

Piramida este regulată, ceea ce înseamnă că la bază există un triunghi echilateral și toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Unghiul diedric de la bază este unghiul de înclinare a feței laterale a piramidei față de planul bazei. Unghiul liniar este unghiul Aîntre două perpendiculare: etc. Vârful piramidei este proiectat în centrul triunghiului (centrul cercului circumferitor și cercul înscris al triunghiului ABC). Unghiul de înclinare a marginii laterale (de exemplu S.B.) este unghiul dintre marginea însăși și proiecția acesteia pe planul bazei. Pentru coastă S.B. acest unghi va fi unghiul SBD. Pentru a găsi tangenta trebuie să cunoașteți picioarele ASA DEȘi O.B.. Fie lungimea segmentului BD este egal cu 3 A. Punct DESPRE segment de linie BD este împărțit în părți: și Din găsim ASA DE: Din găsim:

Răspuns:

Exemplul 2. Găsiți volumul unei piramide patrulatere trunchiate regulate dacă diagonalele bazelor sale sunt egale cu cm și cm, iar înălțimea ei este de 4 cm.

Soluţie. Pentru a afla volumul unei piramide trunchiate, folosim formula (4). Pentru a găsi aria bazelor, trebuie să găsiți laturile pătratelor de bază, cunoscând diagonalele acestora. Laturile bazelor sunt egale cu 2 cm și, respectiv, 8 cm. Aceasta înseamnă zonele bazelor și Înlocuind toate datele în formulă, calculăm volumul piramidei trunchiate:

Răspuns: 112 cm 3.

Exemplul 3. Găsiți aria feței laterale a unei piramide trunchiate triunghiulare regulate, ale cărei laturi ale bazelor sunt de 10 cm și 4 cm, iar înălțimea piramidei este de 2 cm.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 19).

Fața laterală a acestei piramide este un trapez isoscel. Pentru a calcula aria unui trapez, trebuie să cunoașteți baza și înălțimea. Bazele sunt date în funcție de stare, doar înălțimea rămâne necunoscută. O vom găsi de unde A 1 E perpendicular de la un punct A 1 pe planul bazei inferioare, A 1 D– perpendicular de la A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, deoarece aceasta este înălțimea piramidei. A găsi DE Să facem un desen suplimentar care arată vedere de sus (Fig. 20). Punct DESPRE– proiecția centrelor bazelor superioare și inferioare. întrucât (vezi Fig. 20) şi Pe de altă parte Bine– raza înscrisă în cerc şi OM– raza înscrisă într-un cerc:

MK = DE.

Conform teoremei lui Pitagora din

Zona feței laterale:

Răspuns:

Exemplul 4. La baza piramidei se află un trapez isoscel, ale cărui baze AȘi b (A> b). Fiecare față laterală formează un unghi egal cu planul bazei piramidei j. Aflați suprafața totală a piramidei.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 21). Suprafața totală a piramidei SABCD egală cu suma ariilor și aria trapezului ABCD.

Să folosim afirmația că, dacă toate fețele piramidei sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful este proiectat în centrul cercului înscris în bază. Punct DESPRE– proiecția vârfurilor S la baza piramidei. Triunghi GAZON este proiecția ortogonală a triunghiului CSD la planul bazei. Folosind teorema privind aria proiecției ortogonale a unei figuri plane, obținem:

La fel înseamnă Astfel, problema s-a redus la găsirea zonei trapezului ABCD. Să desenăm un trapez ABCD separat (Fig. 22). Punct DESPRE– centrul unui cerc înscris într-un trapez.

Deoarece un cerc poate fi înscris într-un trapez, atunci sau Din teorema lui Pitagora avem

și un plan de tăiere care este paralel cu baza sa.

Sau cu alte cuvinte: trunchi de piramidă- acesta este un poliedru care este format dintr-o piramidă și secțiunea transversală a acesteia paralelă cu baza.

O secțiune care este paralelă cu baza piramidei împarte piramida în 2 părți. Partea piramidei dintre baza și secțiunea transversală este trunchi de piramidă.

Această secțiune pentru o piramidă trunchiată se dovedește a fi una dintre bazele acestei piramide.

Distanța dintre bazele unei piramide trunchiate este înălțimea unei trunchi de piramidă.

Piramida trunchiată va fi corect, când piramida din care a derivat era și ea corectă.

Înălțimea trapezului feței laterale a unei piramide trunchiate obișnuite este apotema piramida trunchiată obișnuită.

Proprietățile unei piramide trunchiate.

1. Fiecare față laterală a unei piramide trunchiate obișnuite este un trapez isoscel de aceeași dimensiune.

2. Bazele unei piramide trunchiate sunt poligoane similare.

3. Marginile laterale ale unei piramide trunchiate obișnuite sunt de dimensiuni egale și una este înclinată față de baza piramidei.

4. Fetele laterale ale trunchiului piramidei sunt trapeze.

5. Unghiurile diedrice de la marginile laterale ale unei piramide trunchiate regulate sunt de mărime egală.

6. Raportul suprafețelor de bază: S2/S1 = k2.

Formule pentru o piramidă trunchiată.

Pentru o piramidă arbitrară:

Volumul unei piramide trunchiate este egal cu 1/3 din produsul înălțimii h (OS) prin suma ariilor bazei superioare S 1 (abcde), baza inferioară a piramidei trunchiate S 2 (ABCDE) și media proporțională dintre ele.

Volumul piramidei:

Unde S 1, S 2- suprafata de baza,

h— înălțimea trunchiului piramidei.

Suprafata laterala este egală cu suma ariilor fețelor laterale ale piramidei trunchiate.

Pentru o piramidă trunchiată obișnuită:

Piramida trunchiată obișnuită- un poliedru care este format dintr-o piramidă regulată și secțiunea acesteia, care este paralelă cu baza.

Aria suprafeței laterale a unei piramide trunchiate obișnuite este egală cu jumătate din produsul sumei perimetrelor bazelor și apotemei sale.

Unde S 1, S 2- suprafata de baza,

φ - unghi diedru la baza piramidei.

CH este înălțimea piramidei trunchiate, P 1Și P2- perimetrele bazelor, S 1Și S 2- zonele de baza, partea S- suprafata laterala, S plin- suprafata totala:

Secțiunea unei piramide după un plan paralel cu baza.

O secțiune a unei piramide printr-un plan, care este paralelă cu baza ei (perpendiculară pe înălțime) și împarte înălțimea și marginile laterale ale piramidei în segmente proporționale.

O secțiune a unei piramide printr-un plan care este paralel cu baza sa (perpendiculară pe înălțimea sa) este un poligon care este similar cu baza piramidei, iar coeficientul de similitudine al acestor poligoane corespunde raportului dintre distanța lor față de vârf. a piramidei.

Secțiunile transversale care sunt paralele cu baza piramidei sunt împărțite la pătratul distanțelor lor față de vârful piramidei.

O piramidă este un poliedru a cărui bază este reprezentată printr-un poligon arbitrar, iar fețele rămase sunt triunghiuri cu un vârf comun, care corespunde vârfului piramidei.
Dacă desenați o secțiune paralelă cu baza din piramidă, aceasta va împărți figura în două părți. Se numește spațiul dintre baza inferioară și secțiune, limitat de margini trunchi de piramidă.

Formula pentru volumul unei piramide trunchiate este o treime din produsul înălțimii și suma ariilor bazelor superioare și inferioare cu proporția medie a acestora:

Să luăm în considerare un exemplu de calcul al volumului unei piramide trunchiate.

Problemă: Având în vedere o piramidă trunchiată triunghiulară. Înălțimea sa este h = 10 cm, laturile uneia dintre baze sunt a = 27 cm, b = 29 cm, c = 52 cm. Perimetrul celei de-a doua baze este P2 = 72 cm.

Pentru a calcula volumul, avem nevoie de aria bazelor. Cunoscând lungimile laturilor unui triunghi, putem calcula >. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți semi-perimetrul:

Acum să găsim S2:

Știind că piramida este trunchiată, ajungem la concluzia că triunghiurile aflate la baze sunt similare. Coeficientul de similaritate al acestor triunghiuri poate fi găsit din raportul perimetrelor. Raportul ariilor triunghiurilor va fi egal cu pătratul acestui coeficient:

Acum că am găsit aria bazelor piramidei trunchiate, putem calcula cu ușurință volumul acesteia:

Astfel, calculând coeficientul de similaritate și calculând aria bazelor, am găsit volumul unei piramide trunchiate date.

Piramida trunchiată este un poliedru ale cărui vârfuri sunt vârfurile bazei și vârfurile secțiunii sale de un plan paralel cu baza.

Proprietățile unei piramide trunchiate:

Bazele unei piramide trunchiate sunt poligoane similare.
Fețele laterale ale trunchiului piramidei sunt trapeze.
Marginile laterale ale unei piramide trunchiate obișnuite sunt egale și egal înclinate față de baza piramidei.
Fețele laterale ale unei piramide trunchiate obișnuite sunt trapeze isoscele egale și sunt înclinate în mod egal față de baza piramidei.
Unghiurile diedrice de la marginile laterale ale unei piramide trunchiate regulate sunt egale.

Suprafața și volumul unei piramide trunchiate

Fie înălțimea piramidei trunchiate și perimetrele bazelor piramidei trunchiate și fie zonele bazelor piramidei trunchiate, fie aria suprafeței laterale a piramidei trunchiate, fie aria din suprafața totală a trunchiului piramidei și să fie volumul trunchiului piramidei. Atunci sunt valabile următoarele relații:

Dacă toate unghiurile diedrice de la baza unei piramide trunchiate sunt egale și înălțimile tuturor fețelor laterale ale piramidei sunt egale, atunci