Trebuie să traversezi toate cele 7 poduri. Să expunem! Este posibil să treci peste acest labirint? Pod de lemn, Holzbrücke

Știați că cele șapte poduri ale orașului Koeningsberg (acum acest oraș se numește Kaliningrad) au devenit „vinovații” pentru crearea teoriei grafurilor de către Leonhard Euler (un grafic este un anumit număr de noduri (vertice) conectate prin muchii) . Dar cum sa întâmplat asta?

Două insule și maluri de pe râul Pregel, pe care se afla Koeningsberg, erau conectate prin 7 poduri. Celebrul filozof și om de știință Immanuel Kant, plimbându-se de-a lungul podurilor orașului Königsberg, a pus o problemă cunoscută de toată lumea ca problema celor 7 poduri Königsberg: este posibil să treci peste toate aceste poduri și în același timp se intoarce la punctul de plecare al traseului astfel incat sa traverseze fiecare pod o singura data. Mulți au încercat să rezolve această problemă atât practic, cât și teoretic. Dar nimeni nu a reușit și nici nu s-a putut demonstra că era imposibil chiar și teoretic. Prin urmare, conform datelor istorice, se crede că în secolul al XVII-lea, locuitorii au format o tradiție specială: în timp ce se plimba prin oraș, traversează toate podurile o singură dată. Dar, după cum știți, nimeni nu a reușit.

În 1736, această problemă l-a interesat pe omul de știință Leonhard Euler, un matematician remarcabil și faimos și membru al Academiei de Științe din Sankt Petersburg. El a scris despre acest lucru într-o scrisoare către prietenul său, savantul, inginerul și matematicianul italian Marioni, din 13 martie 1736. A găsit o regulă, folosindu-se de care să poată obține cu ușurință și simplu un răspuns la această întrebare de interes pentru toată lumea. În cazul orașului Koeningsberg și al podurilor sale, acest lucru s-a dovedit a fi imposibil.

În procesul raționamentului său, Euler a ajuns la următoarele concluzii teoretice:

Numărul de vârfuri impare (vârfurile la care duc un număr impar de muchii) ale graficului trebuie să fie par. Nu poate exista un grafic care are un număr impar de vârfuri impare.

Dacă toate vârfurile graficului sunt pare, atunci puteți desena un grafic fără a ridica creionul de pe hârtie și puteți începe de la orice vârf al graficului și îl puteți termina la același vârf.

Un grafic cu mai mult de 2 vârfuri impare nu poate fi desenat cu o singură lovitură

Dacă luăm în considerare această regulă pentru cele 7 poduri din Koeningsberg, atunci părțile orașului din figură (graficul) sunt indicate prin vârfuri, iar podurile sunt indicate prin marginile care leagă aceste vârfuri. Graficul celor 7 poduri Königsberg a avut 4 vârfuri impare (adică toate vârfurile sale erau impare), prin urmare, este imposibil să treci peste toate cele 7 poduri fără a trece prin oricare dintre ele de două ori.

S-ar părea că o astfel de descoperire neobișnuită nu poate avea nicio aplicație reală sau beneficiu practic. Dar s-a găsit o întrebuințare și altele. Teoria grafurilor, creată de Leonhard Euler, a stat la baza proiectării comunicării și sisteme de transport, este folosit în programare și informatică, fizică, chimie și multe alte științe și domenii.

Dar cel mai interesant este că istoricii cred că există o persoană care a rezolvat această problemă el a putut trece toate podurile o singură dată, deși teoretic, dar a existat o soluție... Și așa s-a întâmplat...

Kaiser (împăratul) Wilhelm a fost renumit pentru simplitatea sa de gândire, directitatea și „îngustia sa de minte” soldată. Într-o zi, aflat la un eveniment social, aproape că a devenit victima unei glume pe care mințile învățate prezente la recepție au decis să o joace cu el. I-au arătat lui Kaiser o hartă a orașului Königsberg și i-au cerut să încerce să rezolve această faimoasă problemă, care, prin definiție, era pur și simplu de nerezolvat. Spre surprinderea tuturor, Kaiserul a cerut o bucată de hârtie și un pix și, în același timp, a precizat că va rezolva această problemă în doar un minut și jumătate. Oamenii de știință uluiți nu le venea să-și creadă urechilor, dar i s-au găsit rapid cerneală și hârtie. Kaiserul a pus bucata de hârtie pe masă, a luat un pix și a scris: „Comand construirea celui de-al optulea pod pe insula Lomze”. Si toata problema s-a rezolvat.....

Așa a apărut un nou al 8-lea pod peste râu în orașul Königsberg, care a fost numit Podul Kaiser. Și acum chiar și un copil poate rezolva problema cu 8 poduri .

De mai bine de 10 ani, ziarul „Noile roți ale lui Igor RUDNIKOV”, sub rubrica „Plembări în jurul Königsberg”, a publicat articole despre istoria orașului nostru. Din peste 500 de eseuri și plimbări pentru carte, am ales 34 - trist și amuzant, tragic și epic. Capitolele conțin schițe ale obiceiurilor și vieții Koenigsbergerilor, bazate pe fapte istorice, legende și tradiții: modă și arhitectură, poliție, militari și pompieri, restaurante și cafenele, universități și școli, legătura istorică a Koenigsbergului cu Rusia și multe altele... Fotografii cu Koenigsberg și ilustrații ale artistului S. Fedorov, realizate special pentru această carte, ne va oferi ocazia să ne imaginăm acest oraș ca „Atlantida”.

Șapte poduri din Königsberg

Problema lui Euler a fost rezolvată prin război și puterea sovietică

Se știe că marele matematician elvețian Leonhard Euler a creat o întreagă ramură a științei rezolvând problema celor șapte poduri Königsberg.

Este o pierdere de timp să-ți călci în picioare

Există o legendă că locuitorii din Königsberg le plăcea să se plimbe pe străzile a trei orașe medievale care „s-au unit” într-un singur întreg: Altstadt, Löbenicht și Kneiphof, dar urau să-și calce pantofii în zadar. Și aceste orașe erau legate între ele prin șapte poduri. Și așa, de parcă orășenii cumpătați s-ar fi gândit cândva: este posibil să treci peste toate podurile, astfel încât să le poți vizita pe fiecare o singură dată și să te întorci la locul de unde ai început plimbarea?

Euler era interesat de problemă. „Nimeni nu a reușit încă să facă asta, dar nimeni nu a dovedit că este imposibil... Nici geometria, nici algebra, nici arta combinatorie nu sunt suficiente pentru rezolvare”, i-a scris el colegului său, un matematician și inginer italian. .

În cele din urmă, după ce a construit un algoritm foarte complex, Euler a primit un răspuns negativ. S-a dovedit a fi imposibil să traversezi toate podurile o singură dată și, după ce a descris un cerc, să te întorci la punctul de plecare.

Lavochny, Green și Kuznechny

Deci, cel mai vechi pod a fost Podul Lavochny (Kremerbrücke). A fost construită în 1286 la inițiativa primarului din Altstadt (care tocmai primise drepturi de oraș). A legat Altstadt de insula Kneiphof, pe care nu exista încă o așezare urbană.

Un stand a fost construit lângă Podul Lavochny - așa cum este scris în ziarele germane, „pentru depozitarea posibilelor gunoi”. În 1339 podul este menționat ca fiind numit după Sfântul Gheorghe, dar în 1397 capătă o nouă denumire: Kogenbrücke, adică Podul Corăbiilor (navele comerciale erau numite atunci roți în Liga Hanseatică). În 1548, acest nume a devenit oficial, schimbându-se într-o singură literă: Kokenbrücke.

În 1787, podul a fost reconstruit. „Cabina nedorită” a fost îndepărtată. În 1900, în locul Kokenbrücke din lemn, a fost construit unul nou din metal. A supraviețuit cu succes războiului și a fost demolat în 1972 în timpul construcției Podului Estakadny.

Podul Lavochny și vechile depozite portuare

Podul Giblet

Următorul – Verde (Grunebrücke). A fost construită în 1322 peste brațul râului Pregel pentru a asigura traficul din suburbiile Ponartului spre Castelul regal. A ars în 1582. Sase ani mai tarziu a fost reconstruita, din nou din lemn. A existat sub această formă până în 1907, apoi a fost înlocuit cu unul metalic care era reglabil. Mecanismul a fost actionat manual. A supraviețuit războiului. A fost „condamnat” în același 1972, în timpul construcției Estakadny.

În 1379, din inițiativa Altstadters și prin hotărârea maestrului Ordinul teuton Winrich, a fost construit un pod paralel cu Lavochny. A fost numit Kuznechny (Schmiedebrücke). Avea și un stand „pentru gunoi” cu el.

Până în 1787, Podul Kuznechny a căzut în paragină și a fost înlocuit cu unul nou, tot din lemn. A fost construită din metal în 1846. În loc de cabină, au instalat o turelă pentru o instalație de abur - un mecanism reglabil.

În timpul furtunii de la Königsberg a fost distrusă și nu a fost niciodată reconstruită.

Barca, înaltă și din lemn

Paralel cu Podul Verde era Podul Giblet (Meat) (Kettelbrücke), situat lângă abator, în fața clădirii Bursei (acum Palatul Culturii Marinarilor). A fost construită în 1377 cu fonduri de la locuitorii din Kneiphof, astfel încât să îi facă legătura cu Forstadt, cartierul depozitelor. Acolo, în Forstadt, au fost depozitate inițial rezervele de lemn pentru încălzire.

Podul Giblet a fost parțial distrus înainte de asaltarea orașului în aprilie 1945, iar travele sale au fost folosite pentru a repara Podul de lemn (Halzbrücke). Structura din lemn este încă intactă, leagă fosta Altstadt de insula Oktyabrsky ( fosta insulă Lomze). Dacă te uiți cu atenție, poți vedea că forjarea balustradelor este diferită: în unele locuri elementele sale sunt frunze de stejar, în altele, împrumutate de la Potrokhovoy, există inele.

În 1377, s-a primit permisiunea pentru construirea podului Înalt (Hoebrücke) (care leagă insula Oktyabrsky cu actuala stradă Dzerzhinsky). ÎN sfârşitul XIX-lea secolul, versiunea sa din lemn a fost înlocuită cu o structură din cărămidă și metal. Apropo, lângă acest pod se află singura clădire supraviețuitoare a mecanismelor de ridicare din întreg orașul - o turelă numită Casa Podului. (Era pe cale să se prăbușească în Pregel, dar acum câțiva ani a fost restaurat.)

În 1937, s-a construit puțin spre est pod nou din metal si beton. El este cel care există până astăzi. Adevărat, de atunci nu a fost modernizat, deși, conform planului, toate podurile din Koenigsberg urmau să fie supuse reconstrucției în curs.

Sau poate e în bine? Martorii oculari își amintesc cum în 1996, sapatori - ai noștri, din Kaliningrad - în timpul reparației Podului Estakadny, au aruncat în aer învelișul de beton cu bombe grele! Mai mult, structurile de acest fel sunt foarte sensibile nici măcar la o undă de șoc, ci pur și simplu la vibrația sincronă. Există un caz binecunoscut când un pod destul de puternic s-a prăbușit din cauza unei companii de soldați care mergeau pe el...

Imperial și Miere

S-a păstrat și Podul Honey (Honigbrücke), construit în 1542. Potrivit legendei, își datorează numele „delicios”... unei mite pe care șeful Burgrave Bazenrade ar fi primit-o de la consiliul orașului Kneiphof. Pentru permisiunea de a construi un pod care să lege Kneiphof de insula Lomse, ocolind Altstadt. Este ca și cum Kneiphofiții i-ar fi furnizat lui Bazenrade un butoi întreg de miere, iar Altstadterii furiosi i-au poreclit „lipsori de miere” pentru asta.

Într-un fel sau altul, Honey a supraviețuit celui de-al Doilea Război Mondial. Și acum duce la Catedrală din strada Oktyabrskaya. Aproape a fost ucis de o barjă numită " Pânze stacojii„- amintiți-vă, pe Pregol era un astfel de restaurant plutitor. În timpul unui vânt puternic, barja a fost smulsă din ancoră, iar nasul a lovit balustrada podului. Chiar în centru. Dar... meșterii locali au rezolvat cu succes problema cu ajutorul unui autogen. Și barja a fost transportată pentru fier vechi.

...Alte poduri Königsberg au apărut mult mai târziu și nu au nimic de-a face cu problema lui Euler.

Astfel, Podul Imperial (Kaiserbrücke), construit în 1905, lega insula Lomse de Forstadt. Podul a fost parțial avariat în timpul războiului. Una dintre travele sale a supraviețuit până la mijlocul anilor optzeci și apoi a fost casată.

Căi ferate și Berlin

Podul Vechi al Căii Ferate lega vechile gări de Sud și de Est cu cartierul depozit Altstadt. În 1929 a fost declarat nesigur și patru ani mai târziu a fost demontat. Și după război, primii coloniști au restaurat podul, deși nu în forma sa anterioară.

Noul Zheleznodorozhny - mai bine cunoscut sub numele de două niveluri - a fost aruncat în aer de sapatori germani în timpul atacului asupra Königsberg. Sapatorii sovietici l-au „țintit” imediat după război. Apoi se desparte, nu ridicându-se cu ambele jumătăți, ci „despărțindu-se” în lateral prin întoarcere.

Apropo, el a rămas în istoria cinematografiei sovietice. În filmul „Întâlnirea pe Elba”, care a fost filmat la Kaliningrad în 1948-1949, există o filmare: foști prieteni și aliați, ruși și americani, se înghesuie de ambele maluri ale unui râu - precum Elba - și americanii ridică un pod, marcând astfel începutul războiului rece.

Deci, cel cu două niveluri a fost filmat ca un „pod peste Elba”. A fost reconstruită la sfârșitul anilor cincizeci și făcută să se ridice.

Dar Berlinul (Palmburg) - cel din spatele satului Borisovo, de-a lungul șoselei de centură spre Isakovo - a rămas înghețat într-o stare „pe jumătate prăbușită”. Parcă înghețată într-o convulsie. A fost aruncat în aer în '45, înainte de asalt.

Podul Înalt

În timpul domniei primului secretar al comitetului regional al PCUS Konovalov, o parte a podului a fost redusă. Constructorii au început al doilea, dar de la Moscova au strigat furioși la ei: „Refaceți zona nemecanică?!” Drept urmare, echipamentul special a fost trimis la fier vechi, dar podul a rămas... monument istoric. Istoria generalului Königsberg-Kaliningrad. Deși restaurarea nu este o problemă.

Monstru peste bulevard

...Apropo, când a fost construit Podul Estakadny, lățimea drumului său a coincis cu lățimea totală a Lavochny și Kuznechny. A fost mai ieftin să restaurați două poduri paralele - Kuznechny și Potrokhovy - și să efectuați trafic de-a lungul acestora. Dar... atunci a domnit gigantomania în toate, s-au cerut volume de construcție.

Chiar mai amuzant - și mai tragic! - sa întâmplat cu acel monstr care iese peste Moskovsky Prospekt. Arhitecții - autorii acestui „miracol” - susțin că au acționat pe baza unui proiect german de reconstrucție a Koenigsberg. De fapt, planurile germane au avut în vedere un pod complet diferit - de la Kalinin Avenue la Litovsky Val. Și acest loc a fost ales doar din motive comerciale: multe clădiri rezidențiale au fost supuse demolării, oamenii trebuiau relocați... Asta înseamnă că a trebuit să se facă o nouă construcție, aceasta este o sumă mare de investiții de capital... Și arhitectul a primit un procent din arborele: cu cât volumul de lucru este mai mare, cu atât onorariul este mai impresionant. Și așa... avem ceea ce avem.

...În general, problema lui Euler de astăzi are o cu totul altă soluție. Este foarte posibil să descrii un cerc de-a lungul podurilor rămase din Kaliningrad fără a repeta „mișcări simple”. Dar... o să vrei? Și nici măcar nu e vorba de cizme.

Luând în considerare această problemă, în 1736 Euler a dovedit că acest lucru este imposibil și a luat în considerare mai mult sarcină comună: care zone, despărțite de ramuri de râu și legate prin poduri, pot fi plimbate vizitând fiecare pod exact o dată și care sunt imposibile.

poduri Königsberg">

Să modificăm puțin problema. Vom desemna fiecare dintre zonele luate în considerare, separate de un râu, printr-un punct, și podurile care le unesc printr-un segment de linie (nu neapărat o linie dreaptă). Apoi, în loc de un plan, vom lucra pur și simplu cu o anumită figură alcătuită din segmente de curbe și linii drepte. În matematica modernă, astfel de figuri sunt numite grafice, segmentele sunt numite muchii, iar punctele care leagă muchiile sunt numite vârfuri. Atunci problema inițială este echivalentă cu următoarea: este posibil să desenezi un grafic dat fără a ridica creionul de pe hârtie, adică în așa fel încât fiecare dintre marginile sale să fie trecută exact o dată?

Astfel de grafice, care pot fi desenate fără a ridica creionul de pe hârtie, se numesc unicursal (din latinescul unus cursus - o cale) sau eulerian. Deci, problema se pune astfel: în ce condiții un grafic este unicursal? Este clar că un graf unicursal nu va înceta să fie unicursal dacă se modifică lungimea sau forma muchiilor sale, precum și locația vârfurilor - atâta timp cât legătura vârfurilor prin muchii nu se modifică (în sensul că dacă două vârfuri sunt conectate, acestea ar trebui să rămână conectate, iar dacă sunt separate – atunci deconectate).

Dacă un grafic este unicursal, atunci graficul echivalent topologic va fi și unicursal. Unicursitatea este astfel o proprietate topologică a unui graf.

În primul rând, trebuie să distingem graficele conectate de cele deconectate. Figurile conectate sunt acelea astfel încât orice două puncte pot fi conectate printr-o cale aparținând acestei figuri. De exemplu, majoritatea literelor alfabetului rus sunt conectate, dar litera Y nu este: este imposibil să se deplaseze din jumătatea sa stângă la dreapta de-a lungul punctelor aparținând acestei litere. Conexiunea este o proprietate topologică: nu se schimbă atunci când figura este transformată fără întreruperi sau lipire. Este clar că dacă un graf este unicursal, atunci trebuie să fie conectat.

În al doilea rând, luați în considerare vârfurile graficului. Vom numi indicele unui vârf numărul de muchii găsite la acest vârf. Acum să ne întrebăm: cu ce pot fi egali indicii vârfurilor unui graf unicursal?

Pot exista două cazuri aici: desenul liniei în care graficul poate începe și se poate termina în același punct (să-i spunem „cale închisă”) sau poate în puncte diferite (să-i spunem „cale deschisă”). Încercați să trasați singur astfel de linii - cu orice auto-intersecții doriți - duble, triple etc. (pentru claritate, este mai bine să nu existe mai mult de 15 margini).

Este ușor de observat că într-o cale închisă toate vârfurile au un indice par, iar într-o cale deschisă exact două au un indice impar (acesta este începutul și sfârșitul căii). Faptul este că, dacă un vârf nu este cel inițial sau final, atunci, după ce ați ajuns la el, trebuie să ieșiți din el - astfel, câte muchii intră în el, același număr iese din el și numărul total de intrare și ieșire. marginile vor fi uniforme . Dacă vârful inițial coincide cu vârful final, atunci indicele lui este și el par: numărul de muchii care au ieșit din el, același număr care a intrat. Și dacă punctul de plecare nu coincide cu punctul de sfârșit, atunci indicii lor sunt impari: trebuie să ieși din punctul de plecare o dată, apoi, dacă ne întoarcem la el, apoi ieșim din nou, dacă revenim din nou, ieșim din nou etc. .; dar trebuie să ajungem la cel final, iar dacă apoi îl părăsim, atunci trebuie să ne întoarcem din nou etc.

Deci, pentru ca un graf să fie unicursal, este necesar ca toate vârfurile sale să aibă un indice par sau ca numărul de vârfuri cu un indice impar să fie egal cu doi.

Calculați indicii vârfurilor sale și asigurați-vă că nu poate fi unicursal. De aceea nu ai reusit cand ai vrut sa ocoli toate podurile...

Se pune întrebarea: dacă un graf conectat nu are vârfuri cu un indice impar sau exact două astfel de vârfuri, atunci graficul este neapărat unicursal? Se poate dovedi cu strictețe că da! Astfel, unicursitatea este legată în mod unic de numărul de vârfuri cu un indice impar.

Exercițiu: construiește un alt pod pe diagrama podurilor Königsberg – unde vrei – astfel încât podurile rezultate să poată fi plimbate, vizitându-le pe fiecare exact o dată; mergi cu adevărat pe acest drum.

Acum mai este unul fapt interesant: Se pare că orice sistem de zone conectate prin poduri poate fi ocolit dacă trebuie să vizitezi fiecare pod de exact două ori! Încercați să demonstrați singur.

Sau Problema celor șapte poduri ale Königsberg - o problemă matematică străveche care se întreba cum se putea trece peste toate cele șapte poduri din Königsberg fără a trece de două ori pe niciunul dintre ele. A fost rezolvată pentru prima dată în 1736 de către matematician Leonhard Euler , care a dovedit că este imposibil și astfel a inventat Cicluri Euler .

Următoarea ghicitoare a fost de mult obișnuită printre locuitorii din Königsberg: cum să traversați toate podurile orașului (de peste râul Pregolya) fără a trece de două ori peste niciunul dintre ele. Mulți Königsbergeri au încercat să rezolve această problemă atât teoretic, cât și practic în timpul plimbărilor. Cu toate acestea, nimeni nu a putut dovedi sau infirma posibilitatea existenței unui astfel de traseu.

În 1736, problema celor șapte poduri l-a interesat pe remarcabilul matematician, membru al Academiei de Științe din Sankt Petersburg, Leonhard Euler, despre care a scris într-o scrisoare către matematicianul și inginerul italian Marinoni din 13 martie 1736. În această scrisoare, Euler scrie că a reușit să găsească o regulă, folosindu-se cu ușurință de a determina dacă este posibil să treci peste toate podurile fără a trece peste oricare dintre ele de două ori. În acest caz, răspunsul a fost „nu”.

Rezolvarea problemei conform lui Leonhard Euler

Într-o diagramă simplificată a orașului (grafic), podurile corespund liniilor (marginile graficului), iar părțile orașului corespund punctelor care leagă liniile (vârfurile graficului). În timpul raționamentului său, Euler a ajuns la următoarele concluzii:

• Numărul de vârfuri impare (vârfurile la care duc un număr impar de muchii) ale graficului trebuie să fie par. Nu poate exista un grafic care are un număr impar de vârfuri impare.

• Dacă toate vârfurile graficului sunt pare, atunci puteți desena un grafic fără a ridica creionul de pe hârtie și puteți începe de la orice vârf al graficului și îl puteți termina la același vârf.

• Dacă exact două vârfuri ale graficului sunt impare, atunci puteți desena un grafic fără a ridica creionul de pe hârtie și puteți începe de la oricare dintre vârfurile impare și puteți termina la un alt vârf impar.

• Un grafic cu mai mult de două vârfuri impare nu poate fi desenat cu o singură lovitură.

• Graficul podurilor Königsberg a avut patru vârfuri impare (adică toate) - prin urmare, este imposibil să treci peste toate podurile fără a trece peste unul dintre ele de două ori.

Dar cel mai interesant este că istoricii cred că există o persoană care a rezolvat această problemă el a putut trece toate podurile o singură dată, deși teoretic, dar a existat o soluție... Și așa s-a întâmplat...

Kaiser (împăratul) Wilhelm a fost renumit pentru simplitatea sa de gândire, directitatea și „îngustia de minte” soldată. Într-o zi, aflat la un eveniment social, aproape că a devenit victima unei glume pe care mințile învățate prezente la recepție au decis să o joace cu el. I-au arătat lui Kaiser o hartă a orașului Königsberg și i-au cerut să încerce să rezolve această faimoasă problemă, care, prin definiție, era pur și simplu de nerezolvat.

Spre surprinderea tuturor, Kaiserul a cerut o bucată de hârtie și un pix și, în același timp, a precizat că va rezolva această problemă în doar un minut și jumătate. Oamenii de știință uluiți nu le venea să-și creadă urechilor, dar i s-au găsit rapid cerneală și hârtie. Kaiserul a pus hârtia pe masă, a luat pixul și a scris: „Comand construirea celui de-al optulea pod pe insula Lomze.”Și gata: problema este rezolvată...

Așa că în orașul Königsberg a apărut unul nou al 8-lea pod peste râu, care a fost numit așa - Podul Kaiser, care a fost ulterior distrus de bombardamente în timpul celui de-al Doilea Război Mondial.

Podul Jubilee a fost construit pe stâlpii Podului Imperial în 2005. Începând cu 2017, în Kaliningrad există opt poduri.

____________________

Un scurt film de popularitate științifică care spune cum o teorie matematică abstractă care a apărut acum 300 de ani și-a găsit în mod neașteptat aplicarea în știința modernă.

În 1735, matematicianul Leonhard Euler a rezolvat celebra ghicitoare a celor șapte poduri din Königsberg, marcând începutul unui nou domeniu al matematicii - teoria grafurilor. Inițial, nicio semnificație aplicată nu a fost văzută în teorie și a rămas „pur matematică”. Cu toate acestea, în secolul 21, teoria grafurilor își găsește aplicarea în multe domenii ale științei. Cu ajutorul lui, de exemplu, se rezolvă problema decriptării ADN-ului.

De la podurile din Königsberg la asamblarea genomului

Instituție de învățământ autonomă municipală

„Școala Gimnazială Nr. 6” Perm

Istoria matematicii

Vechea, vechea problemă despre podurile din Königsberg

Completat de: Zheleznov Egor,

elev de clasa a X-a

Director: Orlova E.V.,

profesor de matematică

2014, Perm

Introducere……………………………………………………………………………………………..3

Istoria podurilor Königsberg ………………………………………………………………………4

Problema celor șapte poduri din Königsberg …………………………………………………………………8

Desenarea figurilor cu o singură lovitură……………………………………….12

Concluzie……………………………………………………………………………………15

Referințe…………………………………………………………………………………………….16

Anexa 1………………………………………………………………………………18

Anexa 2…………………………………………………………………………………22

Anexa 3………………………………………………………………………………23

Anexa 4 ………………………………………………………………………………26

Mentine

Koenigsberg este numele istoric al Kaliningradului, centrul celei mai vestice regiuni a Rusiei, renumit pentru clima blândă, plaje și produse de chihlimbar. Kaliningradul are o moștenire culturală bogată. Aici au trăit și au lucrat cândva marele filozof I. Kant, povestitorul Ernst Theodor Amadeus Hoffmann, fizicianul Franz Neumann și mulți alții, ale căror nume sunt înscrise în istoria științei și creativității. O problemă interesantă este legată de Konigsberg, așa-numita problemă a podului Konigsberg.

Scopul cercetării noastre: studiați istoria problemei podurilor Königberg, luați în considerare soluția acesteia, aflați rolul problemei în dezvoltarea matematicii.

Pentru a atinge obiectivul, este necesar să rezolvați următoarele sarcini:

studiază literatura pe această temă;

sistematizați materialul;

selectați probleme în soluționarea cărora se utilizează metoda de rezolvare a problemei podurilor Köntgsberg;

alcătuiește o listă bibliografică de referințe.

Istoria podurilor din Königsberg

Originar din orașul Königsberg (acum) a constat din trei așezări urbane independente formal și mai multe „așezări” și „sate”. Erau situate pe insule și malurile râurilor(acum Pregolya), împărțind orașul în patru părți principale:, , Și . Pentru comunicarea între părțile orașului deja în a început să construiască . Din cauza pericolului militar constant din vecinătateȘi , și, de asemenea, din cauza conflictelor civile dintre orașele Königsberg (în- a existat chiar un război între orașe, cauzat de faptul că Kneiphof a trecut de partea Poloniei, iar Altstadt și Löbenicht au rămas loiali.) V Podurile Königsberg aveau calități defensive. În fața fiecăruia dintre poduri s-a construit un turn de apărare cu porți de ridicare încuiate sau cu două canape din stejar și cu căptușeală din fier forjat. Iar podurile în sine au căpătat caracterul unor structuri defensive. Piloanele unor poduri aveau o formă pentagonală, tipică bastioanelor. În interiorul acestor suporturi se aflau cazemate. Din suporturi se putea trage prin ambrazuri.

Podurile au fost locul procesiilor, procesiunilor religioase și festive, iar în anii așa-numitei „Primei timpuri rusești” (-), când Königsberg a devenit pentru scurt timp parte a orașului în timpul Războiului de Șapte Ani, au avut loc procesiuni religioase. peste poduri. Odată, o astfel de procesiune religioasă a fost chiar dedicată sărbătorii ortodoxe a Binecuvântării apelor râului Pregel, care a trezit un interes real în rândul locuitorilor din Königsberg.

Până la sfârșitul secolului al XIX-lea, în Königsberg au fost construite 7 poduri principale (Anexa 1).

Cel mai vechi dintre cele șapte poduri Magazinpod(Krämerbrücke/Krämer-brücke). A fost construită în 1286. Numele podului vorbește de la sine. Piața adiacentă era un loc de comerț plin de viață. Le-a legat pe cele două orașe medievale Altstadt și Kneiphof. A fost construit imediat în piatră. În 1900 a fost reconstruită și făcută reglabilă. Tramvaiele au început să circule peste pod. A fost grav avariat în timpul războiului, dar a fost restaurat până când a fost demontat în 1972.

Al doilea ca vechime eraPodul Verde (Grüne Brücke/Grune-brücke). A fost construit în. Acest pod lega insula Kneiphof cu coasta de sud Pregel. Era tot din piatră și avea trei trave. În 1907, podul a fost reconstruit, trava medie a devenit mobilă și tramvaiele au început să circule de-a lungul acestuia. În timpul războiului, acest pod a fost grav avariat, a fost restaurat, iar în 1972 a fost demontat.Denumirea podului provine de la culoarea vopselei care a fost folosită în mod tradițional pentru a picta suporturile și deschiderea podului. ÎNla Podul Verde, un mesager a distribuit scrisori care sosiseră la Königsberg. Oamenii de afaceri ai orașului s-au adunat aici în așteptarea corespondenței. Aici, în așteptarea corespondenței, au discutat despre treburile lor. Nu este de mirare că se află în imediata apropiere a Podului Verde dina fost construit centrul comercial Königsberg. ÎN pe celălalt mal al Pregelului, dar și în imediata apropiere a Podului Verde, a fost construită o nouă clădire a bursei comerciale, care a supraviețuit până în zilele noastre (acum Palatul Culturii Marinarilor).În 1972, podul Estakadny a fost construit în locul podurilor Green și Lavochny.

După ce au fost construite Lavochny și ZelenyPod de lucru (Koettelbrucke / Kettel sau Kittel-brücke), care leagă și Kneiphof și Forstadt. Uneori, numele este tradus și ca Podul Giblet. Ambele opțiuni de traducere nu sunt ideale, deoarece numele german provine de laiar în rusă înseamnă aproximativ „muncitor, auxiliar, destinat transportului gunoiului”, etc. Acest pod a fost incorporat . A făcut legătura între orașul Kneiphof și suburbia Forstadt. Podul era pe jumătate de piatră, iar travele erau punți de lemn. În 1621, în timpul unei inundații severe, podul a fost rupt și dus în râu. Podul a fost readus la locul său. În 1886 a fost înlocuit cu unul nou, din oțel, cu trei trave, mobil. De-a lungul ei circulau și tramvaie. Podul a fost distrus în timpulși nu a fost restaurat ulterior.

Cele șapte poduri din Königsberg - Wikipedia (ru /wikipedia .ord)

Teoria grafurilor – site web www .ref .by /refs

Anexa 1

Podul Lavochny

Podul Verde

Podul Giblet

Podul Kuznechny

Pod de lemn

Podul Înalt

Podul Mierii. Vedere laterală a

fost pod mobil.

Podul Mierii. Rămășițe ale mecanismului reglabil.

Podul Kaiser

Anexa 2

Leonard Euler

N Matematician, mecanic și fizician german și rus. Născut la 15 aprilie 1707 la Basel. A studiat la Universitatea din Basel (1720–1724), unde profesorul său a fost Johann Bernoulli. În 1722 a primit o diplomă de master în arte. În 1727 s-a mutat la Sankt Petersburg, primind un post de profesor asociat la nou-înființată Academie de Științe și Arte. În 1730 a devenit profesor de fizică, în 1733 - profesor de matematică. În cei 14 ani ai primei sale șederi la Sankt Petersburg, Euler a publicat peste 50 de lucrări. În 1741–1766 a lucrat la Academia de Științe din Berlin sub patronajul special al lui Frederic al II-lea și a scris multe eseuri, acoperind în esență toate secțiunile matematicii pure și aplicate. În 1766, la invitația Ecaterinei a II-a, Euler s-a întors în Rusia. La scurt timp după sosirea la Sankt Petersburg, și-a pierdut complet vederea din cauza cataractei, dar datorită memoriei sale excelente și abilității de a efectua calcule mentale, a fost angajat în cercetări științifice până la sfârșitul vieții: în acest timp a publicat despre 400 de lucrări, al căror număr total depășește 850. A murit Euler la Sankt Petersburg la 18 septembrie 1783

Lucrările lui Euler mărturisesc versatilitatea extraordinară a autorului. Tratatul său de mecanică cerească „Teoria mișcării planetelor și cometelor” este cunoscut pe scară largă. Autor de cărți de hidraulică, construcții navale, artilerie. Euler a fost cel mai bine cunoscut pentru cercetările sale în matematică pură.

Anexa 3

Sarcini

Z
problema 1(problema legata de podurile din Leningrad). Într-una dintre sălile Casei Științei Divertismentului din Sankt Petersburg, vizitatorilor li s-a arătat o diagramă a podurilor orașului (Fig.). A fost necesar să ocolim toate cele 17 poduri care leagă insulele și malurile Neva, pe care se află Sankt Petersburg. Trebuie să ocoliți, astfel încât fiecare pod să fie traversat o dată.

Și tăind blocurile,

Ieși dintr-o dată din întuneric

Canalele Sankt Petersburg,

poduri din Sankt Petersburg!

(N. Agnivtsev)

D dovediți că ocolirea unicursală necesară a tuturor podurilor din Sankt Petersburg din acea vreme este posibilă, dar nu poate fi închisă, adică se încheieV punctul de la care a început.

Sarcina 2. Există șapte insule pe lac, care sunt conectate între ele, așa cum se arată în imagine. Pe ce insulă ar trebui să ducă o barcă călătorii pentru a putea traversa fiecare pod și o singură dată? De ce nu pot fi transportați călătorii pe Insula A? 17

Z noroc 3. (În căutarea comorilor) .

În fig. înfățișează un plan al unei temnițe, într-una dintre camerele în care este ascunsă bogăția cavalerului. Pentru a intra în siguranță în această cameră, trebuie să intri printr-o anumită poartă într-una dintre camerele exterioare ale temniței, să treci prin toate cele 29 de uși în succesiune, stingând alarma. Nu poți trece de două ori prin aceleași uși. Stabiliți numărul camerei în care este ascunsă comoara și poarta prin care trebuie să intri? 20

Z

problema 4

Z problema 5 . Matematicianului englez L. Carroll (autorul cărților de renume mondial „Alice în Țara Minunilor”, „Alice Through the Looking Glass”, etc.) îi plăcea să-și ceară prietenilor un puzzle pentru a se plimba în jurul unei figuri (Fig. 9)cu o singură mișcare a stiloului și fără a trece de două ori prin vreo secțiune a conturului. Trecerea liniilor era permisă. Această problemă poate fi rezolvată simplu.

Să o complicăm cu o cerință suplimentară: cu fiecare tranziție printr-un nod (luând în considerare punctele de intersecție ale liniilor din figură ca noduri), direcția traversării trebuie să se schimbe cu 90°. (Începând o traversare de la orice nod, va trebui să faceți 23 de ture) 6 .

Problema 6 . (Zboară într-un borcan) O muscă s-a urcat într-un borcan de zahăr. Borcanul are forma unui cub. Poate o muscă să ocolească secvențial toate cele 12 muchii ale unui cub fără a trece de două ori peste aceeași muchie? Săritul și zborul dintr-un loc în altul nu este permis. 22

Z problema 7 . Imaginea arată o pasăre. Este posibil să-l desenezi dintr-o singură lovitură?

Z problema 8 . PeFig. 10 prezintă o schiță a unuia dintre portretele lui Euler. Artistul a reprodus-o cu o singură mișcare de stilou (doar părul este desenat separat). Unde sunt situate în figură începutul și sfârșitul conturului unicursal? Repetați mișcarea stiloului artistului (părul și liniile punctate din desen nu sunt incluseVtraseu ocolitor) 6 .

Fig.10

Z

Anexa 4

Rezolvarea problemelor

1

.

3 . Pentru a rezolva, trebuie să construiți un grafic, în care vârfurile sunt numerele camerei, iar marginile sunt ușile.

vârfuri impare: 6, 18. Deoarece numărul de vârfuri impare = 2, este posibil să intrați în siguranță în camera cu comori.

Trebuie să începeți călătoria prin poartă ÎN, și terminați în camera nr. 18 .

5. Un exemplu de bypass necesar este dat în figură

6 . Muchiile și vârfurile cubului formează un grafic, toate cele 8 vârfuri având multiplicitatea 3 și, prin urmare, parcurgerea cerută de condiție este imposibilă.

7. Luând punctele de intersecție ale dreptei ca vârfuri ale graficului, obținem 7 vârfuri, dintre care doar două au un grad impar. Prin urmare, există o cale Euler în acest grafic, ceea ce înseamnă că aceasta (adică pasărea) poate fi desenată cu o singură lovitură. Trebuie să începeți calea la un vârf impar și să terminați la celălalt.

8. Trebuie să începeți traversarea de la nodul impar din colțul ochiului drept și să terminați la nodul impar al sprâncenei deasupra ochiului stâng (liniile punctate nu sunt incluse în rețea). Toate celelalte noduri din figură sunt egale.

9 .